ผู้จัดทำ

1.นาย พรรษพล โฉมศิริ  รหัสนิสิต 49222557
2.นายพิศิษฐ์ สิงห์โต       รหัสนิสิต 49222565
3.นาย ศรีรัฐ คงหนู          รหัสนิสิต 49222672

Steady-State Errors

  ความคลาดเคลื่อนเชิงสถิตย์ คือความแตกต่างระหว่างอินพุตและเอาต์พุต (E(s)) เมื่อป้อนสัญญาณรูปแบบต่างๆ ที่ใช้ในทดสอบเข้าไปที่อินพุตของระบบ แล้วตรวจสอบความแตกต่างที่เวลาเข้าสู่อนันต์หรือเวลาที่ระบบอยู่ในภาวะคงตัว

รูปที่ 7.1 แผนภาพระบบซึ่งมีการป้อนกลับ 1 หน่วย (unity)
 
  ระบบที่เรานำมาตรวจสอบ Steady-State Error ต้องเป็นระบบที่เสถียรเท่านั้น ดังนั้นก่อนที่จะทำการตรวจสอบ Steady-State Error ต้องมีการตรวจสอบความเสถียรก่อนทุกครั้งและถ้าระบบไม่เสถียรจะต้องทำการปรับปรุงระบบให้เสถียรก่อนจึงจะสามารถนำมาตรวจสอบ Steady-State Error

  การหา steady-state errors แสดงไว้ในรูปที่ 7.1 โดยความคลาดเคลื่อน (error) สามารถหาได้
จาก E(s) = R(s) - C(s)H(s) หรือ

Steady-State Errors หาได้จากการหาลิมิตของความคลาดเคลื่อน (e(t)) เมื่อเวลา (t) เข้าสู่อนันต์และโดยทฤษฎีค่าสุดท้ายจะได้ว่า

หรือ

ในการหา Steady-State errors มีการกำหนดอินพุตสำหรับการตรวจสอบไว้ 3 รูปแบบคือ

ลักษณะของสัญญาณที่ใช้เป็นอินพุตในการตรวจสอบ Steady-State Errors ได้แสดงไว้ในตารางที่ 6.1

ตารางที่ 7.1 สัญญาณอินพุตสำหรับการทดสอบความคลาดเคลื่อนเชิงสถิตย์ (จากหนังสืออ้างอิง [1])

การวัดค่าความคลาดเคลื่อนเชิงสถิตย์ (Evaluating Steady–State Errors)


 ทำได้โดยการหาค่าความแตกต่างของระดับสัญญาณอินพุทที่ป้อนให้กับระบบ กับสัญญาณเอาต์พุตที่ได้เมื่อเวลาเข้าสู่อนันต์

รูปที่ 7.2 แสดงความคลาดเคลื่อนเชิงสถิตย์สำหรับอินพุต r(t) =1 (จากหนังสืออ้างอิง [1])

   พิจารณาเมื่อสัญญาณอินพุตเป็น Step function การตรวจสอบ Steady-State Error จะกระทำเมื่อเวลาเข้าสู่อนันต์หรือเมื่อระบบเข้าสู่ภาวะคงตัวแล้ว เช่นระบบอันดับ 1 สามารถวัดได้เมื่อเวลาผ่านไปอย่างน้อย 5T เมื่อ T เป็น time constant ของระบบ ดังนั้นจากรูปที่ 2(a) Steady-State Error ของระบบที่ 1 ซึ่งแสดงโดย Output 1 มีค่าเป็น 0 หรือไม่มี Steady-State Error และ Steady-StateError ของระบบที่ 2 ซึ่งแสดงโดย Output 2 มีค่าคงที่ e2(∞)

รูปที่ 7.3 แสดงความคลาดเคลื่อนเชิงสถิตย์สำหรับอินพุต r(t) = t (จากหนังสืออ้างอิง [1])

  เมื่อพิจารณาสัญญาณอินพุต Ramp function จะพบว่า Steady-State Error ของระบบที่ 1 ซึ่งแสดงโดย Output 1 มีค่าเป็น 0 Steady-State Error ของระบบที่ 2 ซึ่งแสดงโดย Output 2 มีค่าคงที่ e2(∞) และ Steady-State Error ของระบบที่ 3 ซึ่งแสดงโดย Output 3 มีค่าอนันต์

ค่าความคลาดเคลื่อนเชิงสถิตย์สำหรับระบบป้อนกลับหนึ่งหน่วย

(Steady-state Error for Unity Feedback Systems)
   ระบบป้อนกลับหนึ่งหน่วยแสดงได้ดังรูปที่ 7.4

รูปที่ 7.4 ระบบป้อนกลับแบบ 1 หน่วย (จากหนังสืออ้างอิง [1])

  ในการพิจารณาระบบควบคุมแบบป้อนกลับ เราจะมีตัวป้อนกลับ คือ H(s) ในที่นี้มีค่าเป็น 1 และมี E(s) เป็นค่าความคลาดเคลื่อนที่แท้จริงระหว่างอินพุท R(s) กับเอาต์พุต C(s) ดังนั้นเราจึงมีวิธีการหาค่าE(s) ได้จาก

E(s) = R(s) –C(s) -- (7.1)

เมื่อ

C(s) = E(s) G(s) -- (7.2)

แทนสมการที่ 7.2 ในสมการที่ 7.1 จะได้
 

การตรวจสอบความคลาดเคลื่อนเชิงสถิตย์ จะทำที่เวลามีค่าเป็นอนันต์ e(∞) เราจะได้ว่า
 

 
อินพุตแบบระดับขั้น (ค่าความคลาดเคลื่อนในการควบคุมตำแหน่ง)

  เมื่อสัญญาณป้อนเข้าเป็นสัญญาณ step function หนึ่งหน่วย r(t) = u(t) เมื่อแปลงลาปลาซจะได้ R(s) = 1/s แทนในสมการที่ 7.4 จะได้

หากเราต้องการให้ค่าความคลาดเคลื่อนเชิงสถิตย์มีค่าเป็นศูนย์ เราต้องออกแบบให้

อินพุทแบบลาด (ค่าความคลาดเคลื่อนในการควบคุมอัตราเร็ว)


   เมื่อสัญญาณป้อนเข้าเป็นสัญญาณ ramp function r(t) = t เมื่อแปลงลาปลาซจะได้ R(s) =1/s2 แทนในสมการที่ 7.4 จะได้

หากเราต้องการให้ค่าความคลาดเคลื่อนเชิงสถิตย์มีค่าเป็นศูนย์ เราต้องออกแบบให้

อินพุทแบบพาราโบล่า (ค่าความคลาดเคลื่อนในการควบคุมอัตราเร่ง)


เมื่อสัญญาณป้อนเข้าเป็นสัญญาณ parabola function r(t) = t2 เมื่อแปลงลาปลาซจะได้ R(s)= 1/s2 แทนในสมการที่ 6.4 จะได้

หากเราต้องการให้ค่าความคลาดเคลื่อนเชิงสถิตย์มีค่าเป็นศูนย์ เราต้องออกแบบให้

ค่าคงที่ของความผิดพลาดเชิงสถิตย์และประเภทของระบบ

(Static Error Constants and System Type)

   การนิยามพารามิเตอร์ต่างๆ นั้นทำให้เราสามารถที่จะนำมาใช้เพื่อระบุหาประสิทธิภาพของความคลาดเคลื่อนเชิงสถิตย์ได้ ดังเช่นที่ได้นิยามเรื่องของ damping ratio,natural frequency, setting time,percent overshoot เป็นต้น เพื่อนำไปใช้หาประสิทธิภาพของการตอบสนองชั่วขณะ (Transient response) เพื่อหาประสิทธิภาพของความคลาดเคลื่อนเชิงสถิตย์จึงต้องนิยามค่าต่างๆ เรียกว่า “Static Error Constants” ซึ่งจะนำไปใช้ในการคำนวณถัดไป

ค่าคงที่ของความผิดพลาดเชิงสถิตย์ (Static Error Constants)

   ค่าความคลาดเคลื่อนเชิงสถิตย์ แสดงได้โดยสมการที่ (7.5), (7.7) และ (7.9) จะสังเกตุเห็นว่าทั้ง 3 สมการมีเทอมของส่วนที่แสดงความสัมพันธ์โดยการหาลิมิต เราจะเรียกส่วนที่มีการหาลิมิตว่า Static Error Constants ดังนี้

ประเภทของระบบ (System Type)


   เมื่อสังเกตสมการคุณลักษณะของส่วน จะมีเทอมที่เป็น s คูณอยู่กับเทอมอื่นๆ ซึ่ง s ตัวนี้จะมีอยู่สามประเภทโดยแบ่งตามกำลังของตัวมันเอง ถ้าไม่มี s คูณอยู่แสดงว่าเป็น s ยกกำลัง 0 คือ 1 แบบนี้จะเป็นระบบประเภทที่ 0 ถ้า s ยกกำลัง 1 ก็จะเป็นระบบประเภทที่ 1 และถ้า s ยกกำลัง 2 ก็จะเป็นระบบ

ประเภทที่ 2 ซึ่งสามารถที่จะนำมาสรุปเป็นตารางได้ดังนี้ความสัมพันธ์ระหว่างอินพุท,ประเภทของระบบ,ค่าคงที่ของความผิดพลาดและค่าความดลาดเคลื่อนเชิงสถิตย์ดังตารางที่ 6.2 (จากหนังสืออ้างอิง [1])

ตารางที่ 6.2 แสดงประเภทของระบบและความคลาดเคลื่อนเชิงสถิตย์

เราสามารถนำเอาค่าคงที่ของความคลาดเคลื่อนไปใช้ในการระบุคุณลักษณะของค่าความเคลื่อนเชิงสถิตย์ ของระบบได้

Stability

  ในการออกแบบและวิเคราะห์ระบบควบคุมสิ่งสำคัญที่เราต้องการหาคือความเสถียรของระบบ ในระบบที่ไม่เสถียรเราไม่สามารถออกแบบตัวควบคุมให้มีการตอบสนองชั่วขณะ (Transient response) หรือความผิดพลาดที่สภาวะคงที่ (Steady-state error) ตามที่ต้องการได้ ในการศึกษาในบทนี้จะจำกัดอยู่ที่ระบบ linear time-invariant

  ความหมายของความเสถียรของระบบนั้นขึ้นกับจุดที่เรามองระบบ ในบทที่ผ่านมาเราได้กล่าวถึงเอาต์พุตของระบบควบคุมเกิดจากผลรวมของการตอบสนอง 2 แบบคือ ผลการตอบสนองโดยธรรมชาติ

(Natural Response) กับผลการตอบสนองโดยบังคับ (Force Response)

C(t) = Cforced(t) + Cnatural(t) _____ (6.1)

เราใช้หลักการตรวจสอบเอาต์พุตเพื่อนิยามความเสถียร (stability) ความไม่เสถียร (instability)และความเสถียรที่ขอบ (marginal stability)

การนิยามความเสถียรสำหรับระบบเชิงเส้นที่ไม่แปรตามเวลา โดยพิจารณาจากผลการตอบสนองทางธรรมชาติ (Natural response)

1. ระบบจะเป็นระบบที่เสถียรถ้าผลการตอบสนองทางธรรมชาติมีค่าประมาณศูนย์ เมื่อเวลาเข้าใกล้อนันต์

2. ระบบจะเป็นระบบที่ไม่เสถียรถ้าผลการตอบสนองทางธรรมชาติมีค่าประมาณอนันต์ ที่เวลาเข้าใกล้
อนันต์

3. ระบบจะเป็นระบบที่เสถียรแบบขอบ ถ้าผลการตอบสนองทางธรรมชาติมีค่าคงที่การนิยามความเสถียรสำหรับระบบเชิงเส้นที่ไม่แปรตามเวลา โดยพิจารณาจากเอาต์พุตเมื่อให้อินพุตที่มีขอบเขตจำกัด

   a) ระบบจะเป็นระบบที่เสถียร ถ้าทุกๆอินพุต r(t) ที่มีขอบเขตจำกัดถูกป้อนเข้าไปในระบบแล้วให้เอาต์พุต c(t) ที่มีขอบเขตจำกัดออกมา

   b) ระบบจะเป็นระบบที่ไม่เสถียร ถ้าทุกๆอินพุตที่มีขอบเขตจำกัดป้อนเข้าไปในระบบแล้ว ให้เอาต์พุตออกมาเป็นแบบไม่มีขอบเขต

  ใน time domain เราจะเรียกว่าระบบเสถียร (stable) เมื่อเราให้อินพุต (r(t)) ที่มีค่าจำกัดแก่ระบบที่เราต้องการศึกษาและระบบนั้นให้เอาต์พุต (c(t)) ที่มีค่าจำกัดออกมาเมื่อเวลาเข้าใกล้ infinity เราจะเรียกว่าระบบไม่เสถียร (unstable) เมื่อเราให้อินพุตที่จำกัดที่มีค่าจำกัดแก่ระบบที่เราต้องการศึกษาและระบบนั้นให้เอาต์พุตที่มีค่าเป็น infinity เมื่อเวลาเข้าใกล้ infinity

ใน frequency domain เราสามารถตรวจสอบความเสถียรได้จาก transfer function

การพิจารณาความเสถียรของระบบควบคุมแบบป้อนกลับนั้นจะพิจารณาจากตำแหน่งโพลของระบบควบคุมแบบปิดที่วางอยู่ในระนาบเอส (s-plane) นั่นคือ

1. ถ้าตำแหน่งโพลอยู่ครึ่งขวาของ s-plane จำทำให้ผลตอบสนองชั่วขณะ (transient response) เพิ่มขึ้นหรือเกิดการแกว่ง (Oscillate) ตามค่าของเวลาที่เพิ่มขึ้น หมายความว่าระบบไม่เสถียร (unstable)

2. ถ้าตำแหน่งโพลอยู่ครึ่งซ้ายของ s-plane แล้วผลตอบสนองชั่วขณะ (transient response) จะเข้าสู่สภาวะคงตัว และระบบจะเสถียร

3. ถ้าตำแหน่งโพลอยู่บนแกนจินตภาพ (jw) จะทำให้ผลตอบสนอง (response) เกิดการแกว่ง (oscillate) ด้วยขนาด (amplitude) คงที่ แต่ในระบบจริงอาจจะมีสัญญาณรบกวนและทำให้เกิดการแกว่งเพิ่มของขนาด ดังนั้นในระบบควบคุมจึงไม่ควรมีโพลของลูปปิดอยู่บนแกนจินตภาพ

เราสามารถแสดงถึงขอบเขตของโพลของระบบที่ทำให้ระบบเสถียรคือด้านซ้ายของแกน jw และไม่
เสถืยรคือด้านขวาของแกน jw ได้ดังรูปที่ 5.1

รูปที่ 5.1 แสดงขอบเขตของตำแหน่งโพลที่ทำให้ระบบเสถียรและไม่เสถียร

เมื่อ transfer function อยู่ในรูปอัตราส่วน polynomial
 

Characteristic equation คือสมการที่แสดงคุณลักษณะของระบบ ซึ่งก็คือส่วนของ Transfer function, G(s) เรากำหนด characteristic equation ดังนี้
 

  การตรวจสอบหาความเสถียรของระบบที่แสดงอยู่ในรูป polynomial โดยวิธีที่กล่าวมาด้านบน เกิดความไม่สะดวกเนื่องจากต้องทำการหาค่ารากของ characteristic equation ถ้ากำลังของcharacteristic equation สูงการหาค่ารากยิ่งยากมากขึ้น จากปัญหาดังที่กล่าวมาเราสามารถหาความเสถียรของระบบได้จากวิธีการของ Routh-Hurwitz วิธีการนี้จะบอกได้ว่ามีจำนวน pole ของระบบที่มีส่วนจริงเป็นบวกหรืออยู่อยู่ทางขวาของแกน jw ใน s-domain จำนวนกี่ pole โดยไม่จำเป็นต้องทำการหาค่ารากของ characteristic equation วิธีการของ Routh-Hurwitz นี้ไม่สามารถหาค่าของ pole ได้เพียงสามารถบอกได้ว่ามีจำนวน pole ที่มีส่วนจริงเป็นบวกจำนวนกี่ pole ส่วนจริงเป็นลบจำนวนกี่ poleและอยู่บนแกน jw ซึ่งเมื่อเราพบว่าระบบมี pole ที่มีส่วนจริงเป็นบวกเราสามารถบอกได้ว่าระบบนั้นไม่เสถียร
 
  การสร้างตารางของ Routh สามารถศึกษาได้จากตัวอย่าง (จากหนังสืออ้างอิง [1]) สมมุติให้ระบบปิดมีทรานสเฟอร์ฟังก์ชันดังรูปด้านล่าง

Characteristic equation ของระบบคือ
 

  การสร้างตารางของเร้าท์เริ่มต้นโดยการพิจารณาสมการคุณลักษณะ (characteristic equation) ของระบบ ทำการใส่ตัวสัมประสิทธ์ต่างเข้าไปในตารางของเร้าท์ดังนี้

ขั้นตอนในการเริ่มต้นสร้างตาราง Routh

1 ในคอลัมแรกใส่ค่า s กำลังสูงสุดของ characteristic equation ในแถวแรก แถวที่ 2 ใส่ค่า s ยกกำลังลดลง 1 และในแถวถัดๆ ไปใส่ค่า s ยกกำลังลดลงทีละ 1 เรื่อยไปจนถึง s ยกกำลังศูนย์

2 ใส่ค่าสัมประสิทธ์ของ s กำลังสูงสุดในแถวแรกคอลัมที่ 2 สัมประสิทธ์ของ s ยกกำลังลดลงที่ละ 2 ในคอลัมที่ 3, 4, ...

3 ใส่ค่าสัมประสิทธ์ของ s กำลังสูงสุดลบ 1 ในแถวที่ 2 คอลัมที่ 2 สัมประสิทธ์ของ s ยกกำลังลดลงที่ละ 2 ในคอลัมที่ 3, 4, ...
 

ขั้นตอนการหาค่าเพื่อเติมตาราง Routh ให้เต็มดังนี้
 

สมมุติให้ทรานสเฟอร์ฟังก์ชัน (Transfer function) ของระบบปิด (Closed-loop system) แสดงได้โดยสมการ (6.4) และ characteristic equation แสดงโดยสมการ (6.5)

ตารางของ Routh-Hurwitz
 

เมื่อ
 

 
  การตรวจสอบความเสถียรจากตารางของ Routh ได้โดยการตรวจสอบที่คอลัมแรกของสัมประสิทธิ์หรือคอลัมที่ 2 ของตารางด้านบน ถ้าค่าในคอลัมนี้ไม่มีการเปลี่ยนเครื่องหมายแสดงว่าไม่มีโพลอยู่ทางขวาของ s-plane ถ้าค่าในคอลัมนี้มีการเปลี่ยนเครื่องหมายแสดงว่ามีโพลอยู่ทางขวาของ s-plane โดยที่จำนวนครั้งของการเปลี่ยนเครื่องหมายจะบอกถึงจำนวนโพลที่อยู่ทางขวาของ s-plane
 
กรณีพิเศษของการทดสอบแบบเร้าท์เฮอร์วิธ (Routh- Hurwitz Criterion : Special Cases)


ในบางกรณีไม่สามารถทำให้ตารางเร้าท์เฮอร์วิธสิ้นสุดลงได้ หมายความว่าไม่สามารหาค่าสัมประสิทธ์ของ s0 ได้ อันเนื่องมาจากสาเหตุดังต่อไปนี้

กรณีที่ 1 ตัวเลขเฉพาะคอลัม (Column) แรกของแถวใดแถวหนึ่งเป็นศูนย์แต่ตัวเลขอื่นในคอลัมไม่เป็นศูนย์

เมื่อตัวเลขเฉพาะคอลัมภ์แรกของแถวใดแถวหนึ่งเป็นศูนย์ จะทำให้ผลลัพธ์มีค่าเป็นอนันต์ สามารถแก้ปัญหานี้ได้โดยแทนเลขในคอลัมแรกที่เป็นศูนย์ด้วยเลขบวกที่มีค่าน้อยๆ คือ E (epsilon) ซึ่งเป็นค่าที่ใกล้ 0 มาก จะเป็นค่าบวกหรือลบก็แล้วแต่เราจะสมมุต

กรณีที่ 2 ค่าในแถว (Row) แถวใดแถวหนึ่งเป็นศูนย์ทั้งแถว


กรณีนี้เมื่อนำไปสร้างเป็นตารางแล้วเกิดเป็นศูนย์ทั้งแถว สามารถแก้ไขโดยการนำค่าในแถวอยู่บนแถวที่เป็นศูนย์ มาสร้างเป็นสมการช่วย (Auxiliary Equation) เพื่อนำสมการนั้นไปทำการดิฟเฟอร์เรนเชียลเทียบกับ s จากนั้นนำสัมประสิทธิ์ของผลลัพธ์ที่ได้จากการดิฟเฟอร์เรนเชียลมาแทนค่าลงในแถวที่เป็นศูนย์ เราก็สามารถหาค่าในตารางของเร้าท์ต่อไปได้

Reduction of Multiple Subsystem

Block diagram


Block diagram of a system is a pictorial representation of the functions performed by each component and of the flow of signal.

ข้อดีของ block diagram

– ความง่ายในการสร้างบล็อกไดอะแกรมของระบบทั้งหมด โดยเพียงการต่อบล็อกไดอะแกรมของส่วนย่อยต่างๆ ในระบบเข้าด้วยกันตามทิศทางการไหลของสัญญาณ

– สามารถทำการประเมินส่วนย่อยต่างๆ ในระบบ เพื่อหาสมรรถนะของระบบรวม

ข้อสังเกต บล็อกไดอะแกรมแสดงข้อมูลลักษณะไดนามิกของระบบ แต่ไม่ได้แสดงถึงข้อมูลโครงสร้างทางฟิสิกส์ของระบบ ดังนั้นระบบที่มีลักษณะโครงสร้างทางฟิสิกส์ไม่เหมือนกันหรือระบบที่ไม่มีความสัมพันธ์กันเลย อาจสามารถแสดงได้โดยบล็อกไดอะแกรมที่เหมือนกันComponent part of a block diagramสำหรับระบบ linear time-invariant ประกอบด้วยส่วนหลักๆ คือ signal, system, summing junction, pick off point รูปแบบพี้นฐานในการเชื่อมต่อและการลดรูปมี 3 รูปแบบคือ

1 Cascade form (a) แสดงการเชื่อมต่อ (b) แสดงระบบที่เทียบเท่า

รูปที่ 4.1 การเชื่อมต่อแบบ Cascade (จากหนังสืออ้างอิง [1])

2 Parallel form (a) แสดงการเชื่อมต่อ (b) แสดงระบบที่เทียบเท่า

รูปที่ 4.2 การเชื่อมต่อแบบ Parallel (จากหนังสืออ้างอิง [1])
 
3 Feedback form (a) แสดงการเชื่อมต่อ (b) แสดงระบบที่เทียบเท่า

รูปที่ 4.3 การเชื่อมต่อแบบ Feedback (จากหนังสืออ้างอิง [1])
 
  ระบบป้อนกลับ จะนำเอาสัญญาณทางออก C(s) ป้อนกลับมายังจุดรวม (summing point) เพื่อนำไปเปรียบเทียบกับสัญญาณทางเข้า R(s) ผลการเปรียบเทียบ จะเรียกว่า สัญญาณผลต่าง (Error signal) ของระบบ สัญญาณทางออก C(s) เกิดจากผลคูณของทรานสเฟอร์ฟังก์ชัน G(s) กับสัญญาณผลต่าง E(s) ในระบบควบคุมที่เป็นเชิงเส้นใดๆ จะเขียนแทนด้วยภาพบล็อกที่ประกอบด้วยบล็อกจุดรวมและจุดแยกเมื่อสัญญาณทางออกถูกป้อนกลับไปยังจุดรวม เพื่อนำการเปรียบเทียบกับสัญญาณทางเข้านั้นจำเป็นต้องแปลงสัญญาณทางออกให้มีรูปแบบเหมือนสัญญาณทางเข้าเสียก่อน เช่น ในระบบควบคุมอุณหภูมิ สัญญาณทางออกคือ อุณหภูมิที่ถูกควบคุม (controlled temperature) สัญญาณทางเข้าเป็นแรงดันหรือกระแส จึงต้องเปลี่ยนอุณหภูมิให้อยู่ในรูปของแรงดันหรือกระแสเสียก่อนแล้วจึงนำไปเปรียบเทียบกับสัญญาณการเปลี่ยนแปลงสัญญาณนี้กระทำโดยอุปกรณ์ป้อนกลับ หรือเรียกว่า ฟังก์ชันโอนย้ายกลับ H(s) นอกจากทำหน้าที่แปลงสัญญาณทางออกแล้วยังทำหน้าที่ขยายสัญญาณนี้อีกด้วย
 
R(s) แทนสัญญาณทางเข้า (input signal)


C(s) แทนสัญญาณทางออก (Output signal)

E(s) แทนสัญญาณผลต่าง (Error Signal)

G(s) แทนฟังก์ชันโอนย้ายไป (Forward transfer function)

H(s) แทนฟังก์ชันโอนย้ายกลับ (Reverse transfer function)

ทรานเฟอร์ฟังก์ชันของระบบปิดหรือรูป feedback form

E(s) = R(s) ∓ C(s) H(s)

C(s) = G(s) E(s)

C(s) = G(s)[R(s) ∓ C(s)H(s)]

= G(s)R(s) ∓ G(s)H(s)C(s)

(1±G(s)H(s))C(s) = G(s)R(s)
 
 

 
การย้ายบล็อกมี 4 รูปแบบคือ


1 การย้ายบล็อกไปด้านซ้ายของจุดรวม (summing point) แสดงรูปการเทียบเท่าได้ดังนี้

รูปที่ 4.4 การย้ายบล็อกไปด้านซ้ายของจุดรวม (จากหนังสืออ้างอิง [1])
 
2 การย้ายบล็อกไปด้านขวาของจุดรวม (summing point) แสดงรูปการเทียบเท่าได้ดังนี้

รูปที่ 4.5 การย้ายบล็อกไปด้านขวาของจุดรวม (จากหนังสืออ้างอิง [1])
 
3 การย้ายบล็อกไปด้านซ้ายของจุดแยก (pickoff point) แสดงรูปการเทียบเท่าได้ดังนี้

รูปที่ 4.6 การย้ายบล็อกไปด้านซ้ายของจุดรวม (จากหนังสืออ้างอิง [1])

4 การย้ายบล็อกไปด้านขวาของจุดแยก (pickoff point) แสดงรูปการเทียบเท่าได้ดังนี้
 

รูปที่ 4.7 การย้ายบล็อกไปด้านขวาของจุดรวม (จากหนังสืออ้างอิง [1])


  ในการลดรูปเราต้องตรวจสอบว่าสัญญาณเอาต์พุตของบล็อกก่อนที่จะทำการย้ายบล็อกต้องมีค่าเท่ากันทั้งก่อนย้ายและหลังย้าย ถ้าสัญญาณที่จุดนั้นไม่เท่ากันแสดงว่าการย้ายบล็อกผิดพลาดต้องทำการแก้ไข

ตัวอย่างที่ 4.1 จงลดรูปของระบบที่แสดงในรูปที่ 4.8 โดยการเคลื่อนย้ายและรวมบล็อกไดอะแกรม
 

รูปที่ 4.8 แสดงบล็อกไดอะแกรมของระบบในตัวอย่าง (จากหนังสืออ้างอิง [1])
 
ขั้นที่ 1 เคลื่อนย้าย G2(s) ไปทางด้านซ้ายของจุดแยกสัญญาณ เพื่อสร้างเป็นระบบย่อยแบบขนาน และทำการลดระบบป้อนกลับที่ประกอบอยู่ใน G3(s) กับH3(s) ผลลัพธ์นี้แสดงในรูปที่ 4.9
 

รูปที่ 9 เคลื่อนย้าย G2(s) ไปทางด้านซ้ายของจุดแยกสัญญาณ (จากหนังสืออ้างอิง [1])

ขั้นที่ 2 ทำการลดส่วนที่ขนานกันอยู่ของ 1/G2(s) กับสัญญาณหนึ่งหน่วย(unity) และทำการเลื่อน G1(s)ไปทางด้านขวาของจุดร่วม ซึ่งจะกลายเป็นระบบย่อยที่ขนานอยู่ในลูปป้อนกลับ ซึ่งผลลัพธ์ได้แสดงในรูปที่ 4.10

รูปที่ 4.10 ระบบหลังจากผ่านขั้นที่ 2 (จากหนังสืออ้างอิง [1])

ขั้นที่ 3 ยุบจุดร่วมด้านซ้ายที่ต่อกันอยู่สองตัวให้เป็นหนึ่งเดียว โดยการบวกบล็อกป้อนกลับทั้งสองเข้าด้วยกัน และบล็อกที่เรียงต่อกันด้านขวาก็ทำให้กลายเป็นบล็อกเดียวด้วยวิธีการเรียงต่อกันรูปที่ 4.11

รูปที่ 4.11 ระบบหลังจากผ่านขั้นที่ 3 (จากหนังสืออ้างอิง [1])

ขั้นที่ 4 ใช้สูตรของการป้อนกลับทำการลดให้เหลือบล็อกด้านซ้ายหนึ่งบล็อกตามรูปที่ 4.12

รูปที่ 4.12 ระบบหลังจากผ่านขั้นที่ 4 (จากหนังสืออ้างอิง [1])

ขั้นสุดท้าย ทำการคูณกันของบล็อกทั้งสองที่เรียงต่อเข้าด้วยกัน ซึ่งผลลัพธ์สุดท้ายแสดงในรูปที่ 4.13

รูปที่ 4.13 ระบบหลังจากทำการย่อระบบย่อย (จากหนังสืออ้างอิง [1])

Time Response

โพลและซีโร (Pole and Zeros)

การตอบสนองด้านเอาต์พุต (output response) ของระบบ เป็นผลรวมของ การตอบสนอง 2 ชนิด
คือ force response และ natural response
force response อาจจะเรียกอีกอย่างได้ว่า steady-state response เป็นการตอบสนองเนื่องจากสัญญาณอินพุต ส่วน natural response เป็นการตอบสนองตามธรรมชาติเนื่องจากโพลของระบบ

โพล คือ ค่าของตัวแปร s ในทรานสเฟอร์ฟังก์ชันที่ทำให้ทรานสเฟอร์ฟังก์ชันมีค่าเป็น infinite หรือ ค่ารากของส่วนของทรานสเฟอร์ฟังก์ชัน

ซีโร คือ ค่าของตัวแปร s ในทรานสเฟอร์ฟังก์ชันที่ทำให้ทรานสเฟอร์ฟังก์ชันมีค่าเป็นศูนย์ หรือค่ารากของเศษของทรานสเฟอร์ฟังก์ชัน

การตอบสนองของระบบต่อ impulse function
  ในการวิเคราะห์และออกแบบระบบ จะต้องมีพื้นฐานในการเปรียบเทียบผลการทำงานของระบบควบคุม พื้นฐานจะได้มาจากการทดสอบโดยการให้สัญญาณอินพุต และดูผลการตอบสนองของระบบต่างๆบรรทัดฐานการออกแบบระบบจะใช้สัญญาณหรือผลตอบสนองของระบบ การใช้สัญญาณทดสอบระบบสามารถนำมาเป็นตัวบอกได้ เพราะจะทำให้เห็นความสัมพันธ์ที่เป็นอยู่ของสัญญาณอินพุตและความสามารถในการจัดการระบบด้วยสัญญาณอินพุต สัญญาณทดสอบที่ใช้กันโดยทั่วไป คือสัญญาณอินพุตที่เป็น step function, ramp function,acceleration function, impulse functions, sinusoidal function เป็นต้น โดยวิธีการใช้ความรู้ทางด้านคณิตศาสตร์และการทดลองเข้ามาช่วยในการวิเคราะห์ระบบ ทำให้ได้รูปแบบของสัญญาณที่ง่ายในฟังก์ชันของเวลา
สำหรับระบบเชิงเส้น (linear) ทรานสเฟอร์ฟังก์ชัน (transfer function) G(s) กำหนดได้ดังต่อไปนี้

G(s) = Y(s) / X(s)

เมื่อ X(s) เป็นการแปลงลาปลาซทางด้านอินพุตและ Y(s) เป็นการแปลงลาปลาซทางด้านเอาต์พุตซึ่งมาจาก

Y(s) = G(s)X(s)

ดังนั้นจะได้ว่า

 

ผลตอบสนองของระบบที่มีอินพุตเป็น unit-impulse เมื่อค่าเริ่มต้น (initial conditions) เป็น 0 เมื่อ ค่าของการแปลงลาปลาซของ unit-impulse function มีค่าเป้น 1 หน่วย และจะได้การแปลงลาปลาซทางด้านเอาต์พุตคือ

Y(s) = G(s)

เมื่อทำการแปลงลาปลาซผกผันจะได้

y(t) = g(t) = impulse-response function

 

  ดังนั้น g(t) (impulse-response function) เป็นผลการตอบสนองของระบบเชิงเส้น เมื่อมีอินพุตเป็น unit-impulse และค่าเริ่มต้นเป็น 0 การแปลงลาปลาซของฟังก์ชัน g(t) นี้จะประกอบด้วยลักษณะข้อมูลของระบบด้าน dynamic ฟังก์ชันที่ได้จากการแปลงลาปลาสนี้จะมีข้อมูลนี้ของระบบอยู่อย่างครบถ้วนเช่นกัน ดังนั้นเราสามารถหาการตอบสนองของระบบจากการป้อนอินพุต ระบบด้วยอินพุตที่เป็น impulse และวัดผลตอบสนองออกมาดังแสดงในรูปที่ 3.1

 

รูปที่ 3.1 การตอบสนองของระบบต่อสัญญาณ pulse และ impulse

ระบบอันดับ 1 (First order systems)

ระบบอันดับหนึ่งจะเป็นระบบที่ปราศจาก Zero สามารถที่จะแสดงด้วยฟังก์ชันถ่ายโอน (Transfer function) ได้ดังในสมการที่ 1 ถ้าสัญญาณเป็นสัญญาณระดับ เมื่อ R(s) = 1/s ฟังก์ชันการถ่ายโอนคือ

ทรานเฟอร์ฟังก์ชันคือ G(s) และ R(s) เป็นอินพุตแบบสัญญาณระดับ (unit step) จะสามารถหาสมการทางเอาต์พุตดังสมการที่ 3.3

ยกเศษส่วนย่อยก็จะได้

แปลงลาปลาซผกผันจะได้ 

 การตอบสนองของระบบแสดงไว้ในรูปที่ 3.3 การตอบสนองของระบบสิ่งที่เราสนใจที่จะศึกษาคือ rise time และ settling time

ข้อสังเกต ถ้ายิ่งค่าคงที่ของเวลา (Time constant) T = 1/a น้อยลงเท่าไหร่ระบบจะเข้าสู่ภาวะเสถียรโดยใช้เวลาน้อยลง ระบบอันดับหนึ่ง ค่อนข้างจะใช้น้อยมากแต่จะเสถียรมาก ที่จุด t=T จะได้ค่าของ C(t) เท่ากับ 0.632 หรือ 63.2% ของการเปลี่ยนแปลงทั้งหมด ลักษณะความชันของระบบจะมีค่าเท่ากับ 1/T ในที่นี้คือ a

รูปที่ 3.3 แสดงการตอบสนอของระบบอันดับหนึ่งต่ออินพุตแบบสัญญาณระดับ (จากหนังสืออ้างอิง [1])

สัญญาณความคลาดเคลื่อน e(t) หาได้จาก

เมื่อ t เข้าสู่อนันต์แล้วค่า   จะเข้าสู่ศูนย์นั้นคือทำให้ค่าความคลาดเคลื่อนเท่ากับศูนย์

ระบบอันดับสอง (Second order systems)

ระบบอันดับสองสามารถเขียนอยู่ในรูปทั่วไปได้ดังนี้ 

โดยที่ Wn คือความเร็วเชิงมุมในการแกว่งตามธรรมชาติ (Natural Frequency)
ζ คืออัตราการหน่วงของระบบ (damping ratio)

เราสามารถแบ่งการศึกษาเป็น 4 กรณีคือ

1 Overdamped responses

  มีโพลเป็นจำนวนจริงสองค่าที่ -σ1, -σ2 การตอบสนองทางธรรมชาติเป็นสัญญาณเอ็กโพเน็นเซียลสองตัว ที่มีค่าคงที่ของเวลาเท่ากับส่วนกลับของค่าโพลทั้งสอง

2 Underdamped responses 0 < ζ<1

  จะมีโพลเป็นจำนวนเชิงซ้อนเป็นจำนวนเชิงซ้อนสองตัว ที่ −Wd ±j Wd การตอบสนองทางธรรมชาติเป็นการแกว่งแบบลูกคลื่นซายน์ ซึ่งมีขนาดเป็นเอ็กโพเน็นเทียลที่ค่าคงที่ของเวลามีค่าเท่ากับส่วนจริงของโพลซึ่งมีค่าลดลงตามเวลา ความถี่ของซายน์,ความถี่ของการแกว่ง มีค่าเท่ากับส่วนของจินตภาพของโพล

3 Critically damped responses ζ = 1

  จะมีโพลเป็นจำนวนจริงซึ่งมีค่าซ้อนกัน 2 ค่า ที่ -σ1 การตอบสนองทางธรรมชาติมีหนึ่งเทอมที่เป็นเอ็กโพเนนเทียลซึ่งมีค่าคงที่ของเวลาเท่ากับส่วนกลับของค่าโพล อีกเทอมก็จะเป็นผลคูณของเวลา,t, กับเอ็กโพเนนเทียลซึ่งมีค่าคงที่ของเวลาเท่ากับส่วนกลับของค่าโพล

4 Undamped responses ζ= 0

  จะมีโพลมีค่าเป็นจำนวนจินตภาพสองจำนวนอยู่ที่ ±j W1 การตอบสนองทางธรรมชาติ เป็นคลื่นซายน์ซึ่งมีความถี่เท่ากับส่วนจินตภาพของโพลและมีขนาดคงที่

การตอบสนองของระบบและค่าต่างๆ ที่ใช้ในการกำหนดคุณสมบัติของระบบแสดงไว้ในรูปที่ 3.4 การตอบสนองในกรณี underdamped กรณี ζ ถือว่าเป็นการตอบสนองที่ดีที่สุดของระบบอันดับ 2 เนื่องจากให้ rise time และ settling time ที่ดีที่สุด

รูปที่ 4 การตอบสนองของระบบอันดับ 2 เมื่ออินพุตเป็น unit step ทั้ง 4 กรณี (จากหนังสืออ้างอิง [1])

คุณลักษณะของผลตอบสนองชั่วขณะของระบบควบคุมอันดับสอง

  ลักษณะการตอบสนองทั่วไปของระบบอันดับสอง เมื่อได้รับสัญญาณอินพุตมาตรฐานที่เป็นสัญญาณแบบอันดับหนึ่งสามารถตรวจสอบคุณสมบัติบางประการของระบบควบคุม โดยการวิเคราะห์จากค่าต่างๆ ดังนี้

1 เวลาหน่วง (Delay time, td) ปกติกำหนดจากเวลาที่ผลตอบสนองมีขนาดเป็นครึ่งหนึ่งหรือ 50% ของค่าสุดท้าย

2 เวลาไต่ขึ้น (Rise Time, tr) เป็นเวลาที่วัดจากผลตอบสนองมีขนาดเพิ่มขึ้นจาก 10% ถึง 90% หรือ 5% ถึง 95% หรือ 0% ถึง 100% ของค่าสุดท้าย สำหรับระบบควบคุมอันดับสอง ที่อยู่ในสภาวะความหน่วงน้อย (Underdamped) ปกติจะใช้ 0% ถึง 100% สำหรับระบบในสถาวะความหน่วงมาก (Overdamped) ปกติจะใช้ 10% ถึง 90%

3 เวลาสูงสุด (Peak Time , tp) คือเวลาที่ระบบควบคุมมีการตอบสนองสูงสุด หาได้จากสมการ

4 ผลตอบสนองสูงสุด (Maximum Overshoot , Mp) เป็นตัวบ่งบอกถึงความคลาดเคลื่อนสูงสุดระหว่างสัญญาณอินพุทและ สัญญาณเอาท์พุตที่สภาวะของทรานเชียนท์และยังเป็นตัวช่วยวัดถึงเสถียรภาพของระบบด้วย ซึ่งจะวัดอยู่ในรูปของเปอร์เซนต์ที่เทียบจากค่าสุดท้าย

5 เวลาสู่จุดสมดุล (Settling Time, ts) เป็นเวลาที่ผลตอบสนองมีขนาดลดลงอยู่ภายในค่าที่กำหนดไว้โดยปรกติจะกำหนดเป็นค่าที่ลดลงจากค่าสุดท้าย 2% หรือ 5%